यदि $n \geq 1$ के लिए,$P_n = \int\limits_1^e (\log x)^n \, dx$ है,तो $P_{10} - 90P_8$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f: [0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow [0, 1]$ एक फलन है जो $f(x) = \sin^2 x$ द्वारा परिभाषित है और मान लीजिए $g: [0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow [0, \infty)$ एक फलन है जो $g(x) = \sqrt{\frac{\pi x}{2} - x^2}$ द्वारा परिभाषित है।
(इस अनुच्छेद पर आधारित दो प्रश्न हैं। नीचे दिए गए प्रश्न वे दो हैं।)
$(1)$ $2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) g(x) dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
$(2)$ $\frac{16}{\pi^3} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) g(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{\pi} \frac{x \, dx}{1+\sin x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int\limits_0^\pi {\frac{{\sin \left( {n + \frac{1}{2}} \right)x}}{{\sin \frac{x}{2}}}} \,dx$,$(n \in N)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^\pi \frac{x \, dx}{1 + \sin x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\pi / 2} \frac{2 \sin (x)+3 \cos (x)}{\sin (x)+\cos (x)} d x=$